บทที่12
อินทิกรัลไมตรงแบบ
ในเรื่องอินทิกรัลที่นิสิตไดศึกษามาแลวนั้น ฟงกชันที่เรานํามาอินทิเกรตตองมีขอบเขต ชวง
ของการอินทิเกรตก็ตองเปนชวงที่มีขอบเขต แตในการประยุกตใชอินทิกรัลในบางกรณีเรา
ตองทําบนชวงที่ไมมีขอบเขต หรือตองทํากับฟงกชันที่ไมมีขอบเขต หรือทั้งสองอยาง เรา
รวมเรียกอินทิกรัลในกรณีดังกลาวนั้นวาเปน
อินทิกรัลไมตรงแบบ (improper
integrals)
12.1 อินทิกรัลไมตรงแบบชนิดที่หนึ่ง
บทนิยาม 12.1.1
1. ถา
f เปนฟงกชันที่มีโดเมนครอบคลุม ชวง [ ,
)
a +∞ และถา
f อินทิเกรตไดบนทุกๆชวง [ , ]
a b ที่
b a
>
เรานิยามอินทิกรัลของ
f บน [ ,
)
a +∞ วาคือ
( )
lim
( )
b
a
a
b
f x dx
f x dx
+∞
→+∞
=
∫
∫
และเรากลาววา
อินทิกรัลลูเขา(converge)ถาลิมิตมีคาจํากัด มิเชนนั้นเรากลาววา
อินทิกรัลลูออก(diverge)
2. ถา
f เปนฟงกชันที่มีโดเมนครอบคลุม ชวง (
, ]
b
−∞ และถา
f อินทิเกรตไดบนทุกๆชวง [ , ]
a b ที่
a b
<
เรานิยามอินทิกรัลของ
f บน (
, ]
b
−∞
วาคือ
( )
lim
( )
b
b
a
a
f x dx
f x dx
−∞
→−∞
=
∫
∫
และเรากลาววา
อินทิกรัลลูเขา(converge)ถาลิมิตมีคาจํากัด มิเชนนั้นเรากลาววา
อินทิกรัลลูออก(diverge)
3. ถา
f เปนฟงกชันที่มีโดเมนครอบคลุมชวง (
,
)
−∞ +∞ และถาผลบวก
( )
( )
c
c
f x dx
f x dx
+∞
−∞
+
∫
∫
มีความหมาย เรานิยามอินทิกรัลของ
f บน (
,
)
−∞ +∞ วาคือ
( )
( )
( )
c
c
f x dx
f x dx
f x dx
+∞
+∞
−∞
−∞
=
+
∫
∫
∫
เรากลาววา
อินทิกรัลทางซายมือลูเขาก็ตอเมื่ออินทิกรัลทั้งสองทางขวามือลูเขาเทานั้น มิเชนนั้นเรากลาววา
อินทิกรัลนั้นลูออก
2
บทที่12
อินทิกรัลไมตรงแบบ
ตัวอยาง 12.1.1 จงหาคาของ
2
0
x
e dx
+∞
−
∫
และพิจารณาวาอินทิกรัลลูเขาหรือลูออก
วิธีทํา
2
2
0
2
2
2
0
0
0
1
1
1
lim
lim
lim
lim
2
2
2
2
2
2
x b
b
x
b
x
x
b
b
b
b
b
x
e
e
e
e dx
e dx
e
=
+∞
−
−
−
−
→∞
→∞
→∞
→∞
=
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
=
=
=
−
=
−
+
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
∫
∫
ดังนั้น
2
0
x
e dx
+∞
−
∫
ลูเขา
∎
ตัวอยาง 12.1.2 จงหาคาของ
2
0
x
xe dx
+∞
−
∫
และพิจารณาวาอินทิกรัลลูเขาหรือลูออก
วิธีทํา
ให
2
,
x
u x dv e dx
−
=
=
จะไดวา
2
,
x
du
xdx
v
e−
=
= −
ดังนั้น
2
2
2
x
x
x
x e dx
x e
e xdx
−
−
−
= −
+
∫
∫
พิจารณา
2
x
e xdx
−
∫
โดยอินทิเกรตทีละสวน (
,
x
u x dv e dx
−
=
=
จะไดวา
,
x
du dx v
e−
=
= −
)
ฉะนั้น
[
]
2
2
2
x
x
x
x
x
e xdx
xe
e dx
xe
e
c
−
−
−
−
−
⎡
⎤
= −
+
= −
+
+
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
∫
ดังนั้น
2
2
2
0
0
0
2
2
lim
lim
2
x b
b
x
x
x
x
x
b
b
x
x
x
xe dx
xe dx
e
e
e
=
+∞
−
−
→∞
→∞
=
⎡
⎤
−
⎢
⎥
=
=
−
−
=
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
∫
ลูเขา
∎
ตัวอยาง 12.1.3 จงหาคาของ
2
1
dx
x
+∞
−∞
+
∫
และพิจารณาวาอินทิกรัลลูเขาหรือลูออก
วิธีทํา
เนื่องจาก
2
2
2
0
1
1
1
o
dx
dx
dx
x
x
x
+∞
+∞
−∞
−∞
=
+
+
+
+
∫
∫
∫
0
2
2
lim
lim arctan( )
1
1
2
o
x o
a
a
x a
a
dx
dx
x
x
x
π
=
→−∞
→−∞
=
−∞
=
=
=
+
+
∫
∫
2
2
0
0
lim
lim arctan( )
1
1
2
a
x o
a
a
x a
dx
dx
x
x
x
π
+∞
=
→+∞
→+∞
=
=
=
=
+
+
∫
∫
ดังนั้น
2
1
2
2
dx
x
π
π
π
+∞
−∞
= + =
+
∫
ลูเขา
∎
12.1
อินทิกรัลไมตรงแบบชนิดที่หนึ่ง
3
ตัวอยาง 12.1.4 จงหาคาของ
2
1
x dx
x
+∞
−∞
+
∫
และพิจารณาวาอินทิกรัลลูเขาหรือลูออก
วิธีทํา
เนื่องจาก
0
2
2
2
0
1
1
1
xdx
xdx
xdx
x
x
x
+∞
∞
−∞
−∞
=
+
+
+
+
∫
∫
∫
(12.1)
0
2
2
1
2
lim
1
2 1
a
a
xdx
xdx
x
x
∞
→−∞
−∞
=
+
+
∫
∫
(ให
2
1
u
x
= +
จะได
2
du
xdx
=
)
(
)
(
)
0
2
2
1
1
1
lim
ln 1
lim
ln(1 0)
ln 1
2
2
2
x
a
a
x a
x
a
=
→−∞
→−∞
=
=
+
=
+ −
+
= −∞
ดังนั้น
0
2
1
xdx
x
−∞
+
∫
ลูออก และ จาก (12.1) ไดวา
2
1
xdx
x
+∞
−∞
+
∫
ลูออก
∎
ตัวอยาง 12.1.5 ให
p เปนจํานวนบวก จงพิสูจนวา
1
p
dx
x
+∞
∫
ลูเขาเมื่อ
1
p > และลูออกเมื่อ
1
p ≤
แนวคิด
1
1
1
1
1
1
lim
,
1
1
lim
lim ln
,
1
1
lim
,
1
1
1
lim ln
0
,
1
x b
p
b
b
x
p
p
b
x b
b
x
p
b
b
x
p
dx
dx
p
x
x
x
p
b
p
p
p
b
p
=
− +
+∞
→∞
=
→∞
=
→∞
=
− +
→∞
→∞
⎧⎪
⎪
⎪
≠
⎪
⎪
− +
⎪
=
= ⎨
⎪
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎪⎩
⎧⎪
⎪
−
≠
⎪
⎪
− +
− +
= ⎨
⎪
⎪
−
=
⎪
⎪⎩
∫
∫
ถา
1
p < อินทิกรัลลูเขา ถา
1
p ≥ อินทิกรัลลูออก
∎
อินทิกรัลไมตรงแบบที่กลาวมาแลวนั้นเปนกรณีที่ฟงกชันที่เรานํามาอินทิเกรตตองมีขอบเขต แตชวงของการ
อินทิเกรตไมมีขอบเขต เราเรียกอินทิกรัลไมตรงแบบในกรณีเชนนี้วา
อินทิกรัลไมตรงแบบชนิดที่หนึ่ง
(improper integral of the first kind)
ลําดับตอไปจะกลาวถึง
อินทิกรัลไมตรงแบบชนิดที่สอง (improper integral of the second kind) ซึ่ง
เปนอินทิกรัลไมตรงแบบในกรณีที่ชวงของการอินทิเกรตมีขอบเขต แตฟงกชันไมมีขอบเขต
4
บทที่12
อินทิกรัลไมตรงแบบ
แบบฝกหัด 12.1
จงพิจารณาวาอินทิกรัลไมตรงแบบตอไปนี้ลูเขาหรือลูออก ถาลูเขา จงหาคาของอินทิกรัล
1.
2
2
1
(
1)
dx
x
∞
+
∫
2.
0
cos
xdx
∞
∫
3.
1
ln
x
dx
x
∞
∫
4.
3
1
ln
e
dx
x
x
∞
∫
5.
0
1
1 2
x
dx
∞
+
∫
6.
2
1
1
x
dx
x
∞
−
+
∫
7.
2
2
1
4
dx
x
∞
+
∫
8.
0
1
x
dx
e
∞
∫
9.
0
x
xe dx
∞
−
∫
10.
0
cos
x
e
xdx
∞
−
∫
11.
2
0
1
x
x
dx
e
e
∞
+
∫
12.
2
1
1
(1
)
x
dx
x
e
∞
+
∫
13.
1
1
3 2
dx
x
−∞
−
∫
14.
0
3
x
e dx
−∞
∫
15.
1
2
1
x
dx
x
−
−∞
+
∫
16.
0
5
2
1
(1
)
dx
x
−∞
−
∫
17.
0
3 2
x
x
e
dx
e
−∞
−
∫
18.
0
2
3
1
(
8)
dx
x
−∞
−
∫
19.
0
2
1
2
2
1
dx
x
x
−∞
+
+
∫
20.
2
1
1
x
dx
x
∞
−∞
+
+
∫
21.
2
2
1
x
dx
x
∞
−∞
+
∫
22.
2
2
(
3)
x
dx
x
∞
−∞
+
∫
23.
1
x
x
dx
e
e
∞
−
−∞
+
∫
24.
2
x
xe dx
∞
−
−∞
∫
12.2
อินทิกรัลไมตรงแบบชนิดที่สอง
5
12.2 อินทิกรัลไมตรงแบบชนิดที่สอง
บทนิยาม 12.2.1
1. ถา
f เปนฟงกชันที่มีโดเมนครอบคลุม ชวง ( , ]
a b และถา
f อินทิเกรตไดบนทุกๆชวง [, ]
c b ที่
a c b
< <
เรานิยามอินทิกรัลของ
f บน ( , ]
a b วาคือ
( )
lim
( )
b
b
a
c
c a
f x dx
f x dx
+
→
=
∫
∫
และเรากลาววา
อินทิกรัลลูเขา(converge)ถาลิมิตมีคาจํากัด มิเชนนั้นเรากลาววา
อินทิกรัลลูออก(diverge)
2. ถา
f เปนฟงกชันที่มีโดเมนครอบคลุม ชวง [ , ]
a b และถา
f อินทิเกรตไดบนทุกๆชวง [ , ]
a c ที่
a c b
< <
เรานิยามอินทิกรัลของ
f บน [ , ]
a b วาคือ
( )
lim
( )
b
c
a
a
c b
f x dx
f x dx
−
→
=
∫
∫
และเรากลาววา
อินทิกรัลลูเขา(converge)ถาลิมิตมีคาจํากัด มิเชนนั้นเรากลาววา
อินทิกรัลลูออก(diverge)
3. ถา
f เปนฟงกชันที่มีโดเมนครอบคลุมชวง [ , )
a c กับ (, ]
c b และถาผลบวก
( )
( )
c
b
a
c
f x dx
f x dx
+
∫
∫
มีความหมาย เรานิยามอินทิกรัลของ
f บน [ , ]
a b วาคือ
( )
( )
( )
b
c
b
a
a
c
f x dx
f x dx
f x dx
=
+
∫
∫
∫
เรากลาววา
อินทิกรัลทางซายมือลูเขาก็ตอเมื่ออินทิกรัลทั้งสองทางขวามือลูเขาเทานั้น มิเชนนั้นเรากลาว
วา
อินทิกรัลนั้นลูออก
ตัวอยาง 12.2.1 จงหาคาของ
2
2
1
1
xdx
x −
∫
และจงพิจารณาวาอินทิกรัลลูเขาหรือ ลูออก
วิธีทํา ให
2
1
u x
=
− จะได
2
du
xdx
=
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
lim
2
1
1
1
lim (
1) (2)
lim
3
1
3
2
b
b
x
b
b
x b
xdx
xdx
x
x
x
b
+
+
+
→
=
→
→
=
=
−
−
⎡
⎤
=
−
=
−
− =
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
∫
2
2
1
3
1
xdx
x
∴
=
−
∫
ลูเขา
∎
6
บทที่12
อินทิกรัลไมตรงแบบ
ตัวอยาง 12.2.2 จงหาคาของ
1
2
0
1
x dx
x
−
∫
และจงพิจารณาวาอินทิกรัลลูเขาหรือ ลูออก
วิธีทํา
( )
1
2
2
2
2
1
1
1
0
0
0
lim
lim
1
lim
1
1
1
1
1
b
x b
b
b
b
x
xdx
xdx
x
b
x
x
−
−
−
=
→
→
→
=
⎡
⎤
⎡
⎤
=
=
− −
=
− −
− −
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
−
−
∫
∫
ลูเขา
∎
ตัวอยาง 12.2.3 จงหาคาของ
1
2
1
1
x dx
x
−
−
∫
และจงพิจารณาวาอินทิกรัลลูเขาหรือ ลูออก
วิธีทํา เนื่องจาก
1
0
1
2
2
2
1
1
0
1
1
1
xdx
xdx
xdx
x
x
x
−
−
=
+
−
−
−
∫
∫
∫
0
0
2
2
2
1
1
0
1
lim
lim
1
1
1
x b
b
b
x
b
xdx
xdx
x
x
x
+
+
=
→−
→−
=
−
⎡
⎤
=
=
− −
⎢
⎥
⎣
⎦
−
−
∫
∫
( )
2
1
lim
1
1
1
b
b
−
→
⎡
⎤
=
− − − − =
⎢
⎥
⎣
⎦
1
2
2
2
1
1
0
0
0
lim
lim
1
1
1
b
x b
b
b
x
xdx
xdx
x
x
x
−
−
=
→
→
=
⎡
⎤
=
=
− −
⎢
⎥
⎣
⎦
−
−
∫
∫
( )
2
1
lim
1
1
1
b
b
−
→
⎡
⎤
=
− − − − =
⎢
⎥
⎣
⎦
1
2
1
1 1 2
1
xdx
x
−
∴
= + =
−
∫
ลูเขา
∎
ตัวอยาง 12.2.4 จงหาคาของ
1
21
dx
x
−
∫
และจงพิจารณาวาอินทิกรัลลูเขาหรือ ลูออก
วิธีทํา
1
0
1
2
2
2
1
1
0
dx
dx
dx
x
x
x
−
−
=
+
∫
∫
∫
1
1
2
2
0
0
0
0
1
1
1
1
lim
lim
lim
lim
c
x c
x
c
c
c
c
x
x c
c
dx
dx
x
x
x
x
−
+
−
+
=
=
→
→
→
→
=−
=
−
=
+
=
−
+
−
∫
∫
0
0
1
1
lim
1
lim
1
c
c
c
c
−
+
→
→
⎛
⎞
⎛
⎞
⎟
⎟
⎜
⎜
=
− − +
− +
= ∞ + ∞
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
ลูออก
∎
12.2
อินทิกรัลไมตรงแบบชนิดที่สอง
7
แบบฝกหัด 12.2
จงพิจารณาวาอินทิกรัลไมตรงแบบตอไปนี้ลูเขาหรือลูออก ถาลูเขา จงหาคาของอินทิกรัล
1.
9
0
1
dx
x
∫
2.
1
2
0
1
1
dx
x
−
∫
3.
4
2
3
1
(
3)
dx
x −
∫
4.
4
3
0
2
1
(4
)
dx
x
−
∫
5.
2
1
1
x
dx
x −
∫
6.
1
0
ln
x xdx
∫
7.
6
0
cos
1 2 sin
x
dx
x
π
−
∫
8.
2
2
0
sec
xdx
π
∫
9.
2
2
0
2
1
6
x
dx
x
x
+
+ −
∫
10.
1
0
ln
xdx
∫
11.
4
0
ln
x
dx
x
∫
12.
3
1
ln
e
dx
x
x
∞
∫
13.
4
3
2
2
x
dx
x −
∫
14.
2
2
2
0
(
1)
x
dx
x −
∫
15.
8
3
1
1
dx
x
−
∫
16.
7
2
2
3
1
(
1)
dx
x
−
+
∫
17.
1
1
1
dx
x
−
∫
18.
4
7
2
1
(
3)
dx
x −
∫
19.
3
2
0
1
2
3
dx
x
x
+
−
∫
20.
3
2
3
1
(
4)
x
dx
x −
∫
21.
2
2
1
1
1
cos
dx
x
x
−
∫
22.
2
2
0
1
2
dx
x x
−
∫
23.
2
2
1
1
2
dx
x
x
−
− −
∫
24.
1
1
0
5
1
(ln )
dx
x
x
∫
8
บทที่12
อินทิกรัลไมตรงแบบ
12.3 อินทิกรัลไมตรงแบบชนิดผสม
อินทิกรัลไมตรงแบบนั้น นอกจากชนิดที่หนึ่งกับชนิดที่สองแลว ยังมีชนิดผสมดวย ตัวอยางเชน
2
3
0
2
dx
x
x
x
+∞
+
+
∫
ในการอินทิเกรตอินทิกรัลนี้เราตองแบงเปนสองชวงเชนแบงเปน
1
2
3
2
3
0
1
2
2
dx
dx
x
x
x
x
x
x
+∞
+
+
+
+
+
∫
∫
ตัวอยาง 12.3.1 จงหาคาของ
2
3
0
2
dx
x
x
x
+∞
+
+
∫
และจงพิจารณาวาอินทิกรัลลูเขาหรือ ลูออก
วิธีทํา
เนื่องจาก
1
2
3
2
3
2
3
0
0
1
2
2
2
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+∞
+∞
=
+
+
+
+
+
+
+
∫
∫
∫
พิจารณา
2
3
1
2
dx
dx
x
x
x
x
x
=
+
+
+
∫
∫
ให
u
x
=
จะได
1
2
du
dx
x
=
ดังนั้น
2
3
1
2
dx
dx
x
x
x
x
x
=
+
+
+
∫
∫
2
2
2 arctan
2 arctan
(1
)
du
u c
x c
u
=
=
+ =
+
+
∫
จะไดวา
1
1
1
2
3
2
3
0
0
0
lim
lim [2 arctan
]
2
2
x
b
b
x b
b
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
+
+
=
→
→
=
=
=
+
+
+
+
∫
∫
2
2(0)
4
2
π
π
⎛ ⎞
⎟
⎜
=
−
=
⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
[
]
2
3
2
3
1
1
1
lim
lim 2arctan
2
2
b
x b
b
b
x
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
+∞
=
→∞
→∞
=
=
=
+
+
+
+
∫
∫
2
2
2
4
2
π
π
π
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎟
⎟
⎜
⎜
=
−
=
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
2
3
0
2
2
2
dx
x
x
x
π
π
π
+∞
∴
= + =
+
+
∫
ลูเขา
∎
12.3
อินทิกรัลไมตรงแบบชนิดผสม
9
ตัวอยาง 12.3.2 จงหาคาของ
2
0
dx
x
+∞
∫
และจงพิจารณาวาอินทิกรัลลูเขาหรือ ลูออก
วิธีทํา
1
1
2
2
2
2
2
0
0
0
1
1
lim
lim
b
a
b
a
dx
dx
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
+
+∞
∞
→
→∞
=
+
=
+
∫
∫
∫
∫
∫
1
0
0
1
1
1
1
1
lim
lim
lim
1
lim
1
x
x b
a
b
a
b
x a
x
x
x
a
b
+
+
=
=
→
→∞
→
→∞
=
=
⎛
⎞
⎛
⎞
⎟
⎟
⎜
⎜
=
−
+
−
=
− +
+
− + = ∞
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
ลูออก
∎
ตัวอยาง 12.3.3 จงหาคาของ
2
1
1
x dx
x
+∞
−
∫
และจงพิจารณาวาอินทิกรัลลูเขาหรือ ลูออก
วิธีทํา
เนื่องจาก
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
xdx
xdx
xdx
x
x
x
+∞
∞
=
+
−
−
−
∫
∫
∫
ให
2
1
u x
=
− จะได
2
du
xdx
=
ดังนั้น
2
2
2
2
1
1
1
2
lim
2
1
1
b
b
xdx
xdx
x
x
+
→
=
−
−
∫
∫
2
1
2
2
2
1
1
1
lim (
1) (2)
lim 3
1
3
2
x
b
b
x b
x
b
+
+
=
→
→
=
⎡
⎤
=
−
=
−
− =
⎢
⎥
⎣
⎦
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
lim
lim (
1) (2)
lim
1
3
2
2
1
1
x b
b
b
b
b
x
xdx
xdx
x
b
x
x
=
∞
→∞
→∞
→∞
=
⎡
⎤
=
=
−
=
− −
= ∞
⎢
⎥
⎣
⎦
−
−
∫
∫
ฉะนั้น
2
1
1
x dx
x
+∞
−
∫
ลูออก
∎
ตัวอยาง 12.3.4 จงแสดงการคํานวณคาของ
2
2 2
dx
x x
+∞
−∞
+
+
∫
วิธีทํา
เนื่องจาก
0
2
2
2
0
2 2
2 2
2 2
dx
dx
dx
x x
x x
x x
+∞
∞
−∞
−∞
=
+
+
+
+
+
+
+
∫
∫
∫
พิจารณา
0
0
2
2
lim
2 2
2 2
a
a
dx
dx
x x
x x
→−∞
−∞
=
+
+
+
+
∫
∫
ให
2
1 tan
sec
x
dx
d
θ
θ θ
+ =
=
ดังนั้น
(
)2
2
2 2
1
1
dx
dx
x x
x
=
+
+
+
+
∫
∫
(
)
2
2
sec
arctan
1
tan
1
d
c
x
c
θ θ
θ
θ
=
= + =
+ +
+
∫
10
บทที่12
อินทิกรัลไมตรงแบบ
ฉะนั้น
(
)
0
0
2
3
lim
lim arctan
1
2 2
4
2
4
x
a
a
x a
a
dx
x
x x
π
π
π
=
→−∞
→−∞
=
=
+
=
+
=
+
+
∫
และ
(
)
2
0
0
lim
lim arctan
1
2 2
2 4
2
a
x a
a
a
x
dx
x
x x
π
π
π
=
→∞
→∞
=
=
+
= − =
+
+
∫
0
2
2
2
0
5
2 2
2 2
2 2
4
dx
dx
dx
x x
x x
x x
π
+∞
∞
−∞
−∞
∴
=
+
=
+
+
+
+
+
+
∫
∫
∫
∎
ตัวอยาง 12.3.5 จงแสดงการคํานวณคาของ
2
2
0
2
dx
x x
−
∫
วิธีทํา
เนื่องจาก
2
1
2
2
2
2
0
0
1
2
2
2
dx
dx
dx
x x
x x
x x
=
+
−
−
−
∫
∫
∫
พิจารณา
(
)
2
2
2
2
1 (
1)
1
2
1
dx
dx
dx
x x
x
x
x
=
=
−
− −
−
−
+
∫
∫
∫
ให
1 sin
x
θ
− =
จะไดวา
cos
dx
dθθ
=
ดังนั้น
2
1 (
1)
dx
x
− −
∫
2
cos
arcsin(
1)
1 sin
d
c
x
c
θ θ
θ
θ
=
= + =
− +
−
∫
จะไดวา
1
1
1
2
2
0
0
0
lim
lim arcsin(
1)
2
2
2
x
a
a
x a
a
dx
dx
x
x x
x x
π
+
+
=
→
→
=
=
=
−
=
−
−
∫
∫
และ
2
2
2
2
2
1
1
1
lim
lim arcsin(
1)
2
2
2
a
x a
a
a
x
dx
dx
x
x x
x x
π
−
−
=
→
→
=
=
=
−
=
−
−
∫
∫
เพราะฉะนั้น
2
1
2
2
2
2
0
0
1
2
2
2
dx
dx
dx
x x
x x
x x
π
=
+
=
−
−
−
∫
∫
∫
∎
ขอสังเกต ถา ,
f g เปนฟงกชันซึ่ง 0
( )
( )
fx
gx
≤
≤
ทุกๆ
x เราจะไดวาอินทิกรัลของ
g มีคา
มากกวาของ
f ดังนั้น
1) ถาอินทิกรัลของ
g ลูเขา อินทิกรัลของ
f ยอมลูเขาดวย
2) ถาอินทิกรัลของ
f ลูออก อินทิกรัลของ
g ยอมลูออกดวย
เราอาจใชขอสังเกตเหลานี้ทดสอบการลูของอินทิกรัลไมตรงแบบโดยไมตองคํานวณหาคาอินทิกรัลนั้น
12.3
อินทิกรัลไมตรงแบบชนิดผสม
11
ตัวอยาง 12.3.6 จงพิจารณาวา
5
7
3
dx
x
∞
+
∫
ลูเขาหรือลูออก
วิธีทํา
พิจารณา
5
5
1
1
0
3
x
x
≤
≤
+
เนื่องจาก
5
7
1
dx
x
∞
∫
ลูเขา เพราะฉะนั้น
5
7
3
dx
x
∞
+
∫
ลูเขา
∎
ตัวอยาง 12.3.7 จงพิจารณาวา
4
2
1
5
dx
x
x
∞
+
+
∫
ลูเขาหรือลูออก
วิธีทํา
พิจารณา
4
2
4
1
1
0
5
x
x
x
≤
≤
+
+
เนื่องจาก
4
1
1
dx
x
∞
∫
ลูเขา เพราะฉะนั้น
4
2
1
5
dx
x
x
∞
+
+
∫
ลูเขา
∎
ตัวอยาง 12.3.8 จงพิจารณาวา
1
(
1)(
2)(
3)
xdx
x
x
x
∞
+
+
+
∫
ลูเขาหรือลูออก
วิธีทํา
พิจารณา
(
)(
)(
)
2
1
1
2
3
x
x
x
x
x
x x x
x
≤
=
+
+
+
⋅ ⋅
เนื่องจาก
2
1
1
dx
x
∞
∫
ลูเขา เพราะฉะนั้น
(
)(
)(
)
1
1
2
3
xdx
x
x
x
∞
+
+
+
∫
ลูเขา
∎
ตัวอยาง 12.3.9 จงพิจารณาวา
4
2
dx
x
∞
+
∫
ลูเขาหรือลูออก
วิธีทํา
พิจารณา
1
1
1
2
2
x
x x
x
≤
≤
+
+
(เนื่องจาก
4 2
x ≥ > )
เนื่องจาก
4
4
1
1
1
2
2
dx
dx
x
x
∞
∞
=
∫
∫
ลูออก เพราะฉะนั้น
4
2
dx
x
∞
+
∫
ลูออก
∎
12
บทที่12
อินทิกรัลไมตรงแบบ
ตัวอยาง 12.3.10 จงพิจารณาวา
1
2
dx
x
∞
+
∫
ลูเขาหรือลูออก
วิธีทํา
สังเกตวา
4
1
1
4
2
2
2
dx
dx
dx
x
x
x
∞
∞
=
+
+
+
+
∫
∫
∫
เนื่องจาก
4
2
dx
x
∞
+
∫
ลูออก (จาก ตัวอยาง 12.3.9 ) เพราะฉะนั้น
1
2
dx
x
∞
+
∫
ลูออก
∎
ตัวอยาง 12.3.11 จงพิจารณาวา
5
8
8
dx
x
∞
−
∫
ลูเขาหรือลูออก
วิธีทํา
เนื่องจาก
8
x ≥ ดังนั้น
5
8 0
2
x
− ≥
จะไดวา
5
5
5
5
5
1
1
1
2
8
8
2
2
2
x
x
x
x
x
=
≤
=
⎛
⎞
−
⎟
⎜
+
− ⎟
⎜
⎟⎟
⎜⎝
⎠
เนื่องจาก
5
5
8
8
2
1
2
dx
dx
x
x
∞
∞
=
∫
∫
ลูเขา เพราะฉะนั้น
5
8
8
dx
x
∞
−
∫
ลูเขา
∎
ตัวอยาง 12.3.12 จงพิจารณาวา
2
1
(
2)
1
dx
x
x
+∞
+
−
∫
ลูเขาหรือลูออก
วิธีทํา
เนื่องจาก
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
∞
∞
=
+
+
−
+
−
+
−
∫
∫
∫
พิจารณา
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
lim
2
1
2
1
a
z
dx
dx
x
x
x
x
+
→
=
+
−
+
−
∫
∫
สังเกตวา
(
)
(
)(
)(
)
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
≤
≤
−
+
−
+
+
−
ดังนั้น
2
2
2
1
1
1
1
lim
lim 2
1
lim 2 2
1
2
1
1
x
a
a
a
x a
a
dx
dx
x
a
x
x
+
+
+
=
→
→
→
=
=
=
−
=
−
− =
−
−
∫
∫
ตอมาพิจารณา
(
)
2
2
2
1
dx
x
x
∞
+
−
∫
12.3
อินทิกรัลไมตรงแบบชนิดผสม
13
เนื่องจาก
(
)
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
≤
≤
≤
⎛
⎞
+
−
⎟
⎜
⎟
⋅
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝
⎠
และ
2
2
2
2
2
1
2
dx
dx
x
x
∞
∞
=
∫
∫
ลูเขา
ดังนั้น
(
)
2
2
2
1
dx
x
x
∞
+
−
∫
ลูเขา
เพราะฉะนั้น
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
∞
∞
=
+
+
−
+
−
+
−
∫
∫
∫
ลูเขา
∎
แบบฝกหัด 12.3
จงพิจารณาวาอินทิกรัลไมตรงแบบตอไปนี้ลูเขาหรือลูออก ถาลูเขา จงหาคาของอินทิกรัล
1.
2
0
3
1
(
1)
dx
x
∞
+
∫
2.
2
1
1
1
dx
x x
∞
−
∫
3.
2
1
1
1
dx
x
∞
−
∫
4.
1
1
ln
dx
x x
∞
−
∫
5.
0.1
0
x dx
∞
−
∫
6.
0
1
(
4)
dx
x x
∞
+
∫
7.
2
1
1
6
8
dx
x
x
∞
−
+
∫
8.
0
1
x
dx
x
∞
−
∫
9.
2
1
(
7)
2
dx
x
x
∞
+
−
∫
10.
2
1
2
1
dx
x
x
∞
−∞
+
+
∫
11.
2
1
3
2
dx
x
x
∞
−∞
−
+
∫
12.
1
x
x
e
dx
e
∞
−
−∞
∫
